线性回归属于监督学习，因此方法和监督学习应该是一样的，先给定一个训练集，根据这个训练集学习出一个线性函数，然后测试这个函数训练的好不好(即此函数是否足够拟合训练集数据)，挑选出最好的函数(cost function最小)即可。

单变量线性回归：

a) 因为是线性回归，所以学习到的函数为线性函数，即直线函数；

b) 因为是单变量，因此只有一个x。

我们能够给出单变量线性回归的模型：

我们常称x为feature，h(x)为hypothesis。

上面介绍的方法中，我们肯定有一个疑问，怎样能够看出线性函数拟合的好不好呢？

所以此处，我们需要使用到Cost Function(代价函数)，代价函数越小，说明线性回归也越好(和训练集合拟合的越好)，当然最小就是0，即完全拟合。

举个实际的例子：

我们想要根据房子的大小，预测房子的价格，给定如下数据集：

根据上面的数据集，画出如下所示的图：

我们需要根据这些点拟合出一条直线，使得Cost Function最小。虽然现在我们还不知道Cost Function内部到底是什么样的，但是我们的目标是：给定输入向量x，输出向量y，theta向量，输出Cost值。

Cost Function：

Cost Function的用途：对假设的函数进行评价，Cost Function越小的函数，说明对训练数据拟合的越好。

下图详细说明了当Cost Function为黑盒的时候，Cost Function的作用：

但是我们肯定想知道Cost Function的内部结构是什么？因此我们给出下面的公式：

其中：

表示向量x中的第i个元素；

表示向量y中的第i个元素；

表示已知的假设函数；m表示训练集的数量。

如果theta0一直为0，则theta1与J的函数为：

如果theta0和theta1都不固定，则theta0、theta1、J的函数为：

当然我们也能够用二维的图来表示，即等高线图：

注意如果是线性回归，则cost function一定是碗状的，即只有一个最小点。

Gradient Descent(梯度下降)：

但是又一个问题引出来了，虽然给定一个函数，我们能够根据cost function知道这个函数拟合的好不好，但是毕竟函数有这么多，总不能一个一个试吧？

于是我们引出了梯度下降：能够找出cost function函数的最小值。（当然解决问题的方法有很多，梯度下降只是其中一个，还有一种方法叫Normal Equation）。

梯度下降的原理：将函数比作一座山，我们站在某个山坡上，往四周看，从哪个方向向下走一小步，能够下降的最快。

方法：

a) 先确定向下一步的步伐大小，我们称为learning rate；

b) 任意给定一个初始值：和；

c) 确定一个向下的方向，并向下走预定的步伐，并更新和；

d) 当下降的高度小于某个定义的值，则停止下降。

算法：

特点：

a)初始点不同，获得的最小值也不同，因此梯度下降求得的只是局部最小值；

b)越接近最小值，下降速度越慢。

问题1：如果和初始值就在local minimum的位置，则、会如何变化？

答案：因为、已经在local minimum位置，所以derivative肯定是0，因此、不会改变。

问题2：如果取到一个正确的值，则cost function应该会越来越小。那么，怎么取值？

答案：随时观察值，如果cost function变小了，则OK；反之，则再取一个更小的值。

下图就详细说明了梯度下降的过程：

从上图中可以看出：初始点不同，获得的最小值也不同，因此，梯度下降求得的只是局部最小值。

注意：下降的步伐大小非常重要，因为，如果太小，则找到函数最小值的速度就很慢；如果太大，则可能会出现overshoot the minimum现象。

下图就是overshoot现象：

如果Learning Rate取值后发现J function增长了，则需要减小Learning Rate的值。

Integrating with Gradient Descent & Linear Regression：

梯度下降能够求出一个函数的最小值。

线性回归需要求得最小的Cost Function。

因此我们能够对Cost Function运用梯度下降，即将梯度下降和线性回归进行整合，如下图所示：

梯度下降是通过不停的迭代，而我们比较关注迭代的次数，因为这关系到梯度下降的执行速度，为了减少迭代次数，因此引入了Feature Scaling。

Feature Scaling:

此种方法应用于梯度下降，为了加快梯度下降的执行速度。

思想：将各个feature的值标准化，使得取值范围大致都在-1<=x<=1之间。

常用的方法是Mean Normalization，即，或者[X-mean(X)]/std(X)。

练习题

我们想要通过期中考试成绩预测期末考试成绩，我们希望得到的方程为：

给定以下训练集：

我们想对(midterm exam)^2进行feature scaling，则经过feature scaling后的值为多少？

解答：其中max = 8836，min = 4761，mean = 6675.5，则 = (4761 - 6675.5)/(8836 - 4761) = -0.47 。

多变量线性回归

前面我们只介绍了单变量的线性回归，即只有一个输入变量，现实世界可不只是这么简单，因此此处我们要介绍多变量的线性回归。

举个例子：房价其实受很多因素决定，比如size、number of bedrooms、number of floors、age of home等，这里我们假设房价由4个因素决定，如下图所示：

我们前面定义过单变量线性回归的模型：

这里我们可以定义出多变量线性回归的模型：

Cost Function如下：

如果下面我们要用梯度下降解决多变量的线性回归，则我们还是可以用传统的梯度下降算法进行计算：

总练习题

我们想要根据一个学生第一年的成绩预测第二年的成绩，x为第一年得到A的数量，y为第二年得到A的数量，给定以下数据集：

(1) 训练集的个数？

答：4个。

(2) J(0, 1)的结果是多少？

解：J(0,1) = 1/(2*4)*[(3-4)^2+(2-1)^2+(4-3)^2+(0-1)^2] = 1/8*(1+1+1+1) = 1/2 = 0.5。

我们也可以通过vectorization的方法快速算出J(0, 1)：

下面是通过TensorFlow进行简单的实现：

#!/usr/bin/env python 
 
from __future__ import print_function 
 
import tensorflow as tf 
import numpy as np 
 
trX = np.linspace(-1, 1, 101) 
# create a y value which is approximately linear but with some random noise 
trY = 2 * trX + \ 
  np.ones(*trX.shape) * 4 + \ 
  np.random.randn(*trX.shape) * 0.03 
 
X = tf.placeholder(tf.float32) # create symbolic variables 
Y = tf.placeholder(tf.float32) 
 
def model(X, w, b): 
  # linear regression is just X*w + b, so this model line is pretty simple 
  return tf.mul(X, w) + b  
 
# create a shared for weight s 
w = tf.Variable(0.0, name="weights") 
# create a variable for biases 
b = tf.Variable(0.0, name="biases") 
y_model = model(X, w, b) 
 
cost = tf.square(Y - y_model) # use square error for cost function 
 
# construct an optimizer to minimize cost and fit line to mydata 
train_op = tf.train.GradientDescentOptimizer(0.01).minimize(cost) 
 
# launch the graph in a session 
with tf.Session() as sess: 
  # you need to initialize variables (in this case just variable w) 
  init = tf.initialize_all_variables() 
  sess.run(init) 
 
  # train 
  for i in range(100): 
    for (x, y) in zip(trX, trY): 
      sess.run(train_op, feed_dict={X: x, Y: y}) 
 
  # print weight 
  print(sess.run(w)) # it should be something around 2 
  # print bias 
  print(sess.run(b)) # it should be something atound 4 

参考：

TensorFlow线性回归Demo

以上就是本文的全部内容，希望对大家的学习有所帮助，也希望大家多多支持。